Trigo2014: August 2014

Aprendiendo Trigonométrica 10

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es la medición de los triángulos.

La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios.

Historia

Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades pre helénicas carecían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su medida, un campo que se podría llamar trilaterometría.Boyer, Carl Benjamin (1991). A "History of Mathematics" (2da. edición). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0471543977.

Durante muchos siglos, la trigonometría de tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el alma-gesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro mostraba ejemplos de cómo utilizar dicha tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de tolomeo

Al mismo tiempo, los astrónomos de la india habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triangulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos hindúes utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

Grandes Personajes De La Trigonometria

Pitagoras De Samos
Aportes

Hiparco De Nicea
Aportes
Rheticus
Aportes

Pitagoras De Samos

El padre de Pitágoras fue Mnesarco, un mercader de tiro; y su madre, Pythais, originaria de Samos, en jonia. La mayoría de los historiadores concuerdan en que floreció hacia el 532 a.C., en tiempos de policrates y de tarquinio el soberbio.

Pitágoras vivió los primeros años de su vida en Samos y acompañó a su padre en muchos de sus viajes; era ciertamente instruido: aprendió a tocar la lira, a escribir poesía y a recitar a homero . Es posible que su padre lo llevara a Tiro y que allí recibiera instrucción de caldeos y hombres instruidos de Siria. Entre sus profesores, se menciona a tres filósofos: fericides, a quien a menudo se describe como el maestro de Pitágoras; tales y el pupilo de éste, anaximandro. Según jamblico, en su Vida de Pitágoras, a la edad de 18 o 20 años, Pitágoras visitó a Tales, en Mileto. Si bien Tales ya debía ser un anciano en ese entonces, habría ejercido una fuerte impresión en el joven Pitágoras, interesándolo por las matemáticas y la astronomía, y aconsejándole visitar egipto para interiorizarse más sobre estas cuestiones. Anaximandro impartía las enseñanzas de Tales, lecturas a las cuales asistió Pitágoras, y muchas de sus ideas sobre la geometria y cosmologia influyeron en su propia visión.

Fue creencia común en la Antigüedad que Pitágoras emprendió extensivos viajes con el propósito de recolectar la información científica asequible de su tiempo directamente de las fuentes.^{nota 5} Con este fin habría visitado no sólo Egipto, sino también Arabia, Fenicia, Babilonia e incluso India. El paso de Pitágoras por Egipto puede ser visto como más que probable; Polícrates había establecido una alianza y existían fuertes lazos entre la isla de Samos y Egipto en ese momento. En 525 a.C.cambises II, rey de Persia, invadió Egipto. La alianza con Polícrates se rompió y, tras la batalla de pelusium, Cambises capturó Heliópolis y Memphis. Según Jámblico, Pitágoras fue conducido a babilonia como prisionero de guerra por los seguidores de Cambises. Allí, se asociaría con los , instruyéndose en sus ritos sagrados y los , así como las ciencias matematicas cultivadas babilonicas. No está claro cómo obtiene su libertad, si bien las muertes de Polícrates y de Cambises —ambas acaecidas en 522 a.C.— pueden haber sido factores determinantes para que Pitágoras emigrara al Sur de Italia y se estableciera en la ciudad de Crotona.

Aportes

El Teorema De Pitagoras. En un triángulo rectángulo: «la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa». Si bien este resultado y las ternas pitagoricas eran conceptos ya conocidos y utilizados por los matematicos babilonicos y de la india desde mucho tiempo, fueron los pitagóricos los primeros que enunciaron una demostracion formal del teorema; esta demostración es la que se encuentra en Los elementos euclides. También demostraron el inverso del teorema: si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el triángulo es rectángulo. Debe hacerse hincapié además, en que no era interpretado como , como se concibe actualmente, sino en términos de los lados de un

Hiparco De Nicea

(Nicea, c. 190 a. C.-c. 120 a. C.) fue un astronomo, geografo y matematico griego. Entre sus aportaciones cabe destacar: el primer catálogo de estrellas; la división del día en 24 horas de igual duración (hasta la invención del reloj mecánico en el siglo XIV las divisiones del día variaban con las estaciones); el descubrimiento de la precesion de los equinoccios; la distinción entre año sidéreo y año trópico, mayor precisión en la medida de la distancia Tierra-Luna y de la oblicuidad de la eclíptica, invención de la trigonometría y de los conceptos de longitud y latitud geográficas.

Elaboración del primer catálogo de estrellas que contenía la posición en coordenadas eclípticas de 1080 estrellas. Influyó en Hiparco la aparición de una estrella nova, Nova Scorpii en el año 134 a. C. y el pretender fijar la posición del equinoccio de primavera sobre el fondo de estrellas.

Con el propósito de elaborar dicho catálogo, Hiparco inventó instrumentos, especialmente un teodolito, para indicar posiciones y magnitudes, de forma que fuese fácil descubrir sí las estrellas morían o nacían, si se movían o si aumentaban o disminuían de brillo. Además clasificó las estrellas según su intensidad, clasificándolas en magnitudes, según su

Aportes

Invencion de la trigonometria

Por otra parte, Hiparco es el inventor de la trigonometría, para cuyo objeto consiste en relacionar las medidas angulares con las lineales. Las necesidades de ese tipo de cálculos es muy frecuente en Astronomía.

Hiparco construyó una tabla de cuerdas, que equivalía a una moderna tabla de senos. Con la ayuda de dicha tabla, pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano. Ahora bien, los triángulos dibujados sobre la superficie de la esfera celeste no son planos sino esféricos constituyendo la trigonometría esférica.

Geor Joachim Rheticus

Rheticus era hijo de Georg Iserin, el médico local de Feldkirch. Se educó en la escuela de latín de Feldkirch, para seguir su formación como matemático de 1528 a 1531 en Zúrich, luego en la Universidad de Wittenberg, donde consiguió en 1536 un magisterio de artes libres. Gracias al patronazgo de Philipp Melanchthon, se convirtió en 1537 en profesor de Matemáticas y Astronomía en Wittenberg. El año siguiente, Melanchthon le permitió un largo viaje de estudios para visitar a famosos matemáticos y astrónomos. En Nuremberg visitó al matemático y editor Johannes Schöner y al impresor Johannes Petreius, que probablemente le encargaron convencer a Nicolás Copérnico de que editara su obra maestra en Nuremberg. Petreius le dio tres libros editados por él como regalo para que se los entregara a Copérnico. Seguidamente estudió con Petrus Apianus en Ingolstadt, Joachim Camerarius en Tubinga y Aquiles Pirminius Gasser en su ciudad natal.

De 1539 a 1541, Rheticus permaneció junto a Copérnico en Frauenburg. Heinrich Zell, un alumno de Sebastian Münster, acompañó a Rheticus hacia Prusia y durante su estancia con Copérnico, Zell pudo estudiar los documentos en el Arzobispado de Varmia y con ellos, junto con Copérnico, hicieron un mapa detallado de Prusia.

Rheticus contribuyó considerablemente a la expansión del pensamiento copernicano. Fue el único discípulo de Copérnico y lo pudo convencer durante su estancia en Frauenburg de que publicara su obra maestra. Durante esa época dio las primeras noticias sobre la obra copernicana, editada en su Narratio prima de libris revolutionum Copernici. De camino a Nuremberga para preparar la edición, todavía publicó en Wittenberg la parte matemática, completada por las tablas de senos y cosenos calculadas por él mismo. La corrección de la galerada de De revolutionobus tuvo que dejársela a Andreas Osiander. Éste eliminó un tratado teológico sobre la compatibilidad del sistema heliocéntrico con la Biblia, sustiuyéndolo de forma anónima por un prefacio escrito por él mismo, en el que presentaba el modelo como un simple modelo de cálculo. Más tarde, Rheticus pubilicó Ephemeris ex fundamentis Copernici (Leipz. 1550).

Identidades Trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

se define sin²α como (sin α)². Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.
En términos de	$\sin\!$	$\cos\!$	$\tan\!$	$\cot\!$	$\sec\!$	$\csc\!$
$\sin \theta$	$\sin \theta\$	$\sqrt{1 - \cos^2\theta}$	$\frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}$	$\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}$	$\frac{1}{\csc \theta}$
$\cos \theta$	$\sqrt{1 - \sin^2\theta}$	$\cos \theta\$	$\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$	$\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$	$\frac{1}{\sec \theta}$	$\frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta}$
$\tan \theta$	$\frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}$	$\tan \theta\$	$\frac{1}{\cot \theta}$	$\sqrt{\sec^2\theta - 1}$	$\frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
$\cot \theta$	${\sqrt{1 - \sin^2\theta} \over \sin \theta}$	${\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}$	$\frac{1}{\tan \theta}$	$\cot\theta\$	${1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\sqrt{\csc^2\theta - 1}$
$\sec \theta$	${1 \over \sqrt{1 - \sin^2\theta}}$	${1 \over \cos \theta}$	$\sqrt{1 + \tan^2\theta}$	${\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta}$	$\sec\theta\$	${\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
$\csc \theta$	${1 \over \sin \theta}$	${1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}$	${\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta}$	$\sqrt{1 + \cot^2 \theta}$	${\sec \theta \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\csc \theta\$

Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

Ley De Senos

La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.

La ley de senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante.

Ejemplo:

Supongamos que en el triángulo de la figura 1

. Encontrar la longitud del del tercer lado y la medida de los otros dos ángulos.

Solución

Ley De Cosenos

La ley de cosenos se puede considerar como una extención del teorema de pitagoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de untriángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman.